Приведённые Вами названия действительно являются разными произношениями одного и того же названия..Однако, в этом виде спорта действительно присутствуют два направления.Первое тхэквондо основателем которого стал генерал Чхве Хон Хи появилось в Южной Корее в середине 50-х.В начале 70-х у Чхве возникли трения с руководством страны и он покинул Южную Корею и основал федерацию тхеквондо в Торонто.Однако , генерал лишился финансовой поддержки правительства Южной Кореи, что подтолкнуло его к сотрудничеству с КНДР.Именно из-за этого появились расхождения в написании названия данного единоборства: в Северной Корее оно стало называться тейквондо.
написанием
Буковами
одно и тоже. просто слово корейское и везде пишут по разному